Question

5．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=3cm，AD=14cm，BC=10cm，动点P从D点出发，沿DA方向以2cm/秒的速度运动，运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，以PDCB为顶点的四边形是平行四边形？
（2）当t为何值时，以P、C、D为顶点的三角形是直角三角形？

Answer 1

分析 （1）已知AD∥BC，添加PD=BC即可判断以PDCB为顶点的四边形是平行四边形．
（2）根据点P处可能为直角，点C处也可能是直角，分类讨论求解即可．

解答 解：（1）当PD=BC=10时，
∵四边形PDCB是平行四边形，
∴2t=10，
∴t=5．
∴当t=5时，四边形PDCB是平行四边形；
（2）过C作CE⊥AD于E，
∴CE=AB=3．
ED=AD-BC=14-10=4．
①当CP⊥AD，PD=4时，△PCD是直角三角形．
2t=4，解得t=2．
②当CP⊥CD，设PE=x，CD=5，CP²=x²+3²=（x+4）²-5²，
∴8x=18，
∴x=2.25．
∴PD=4+2.25=6.25，
∴2t=6.25，
∴t=3.125．
∴当t=2或3.125时，△PCD是直角三角形．

点评 本题考查了直角梯形的性质、勾股定理以及其逆定理的运用、平行四边形的判定和性质，注意分情况讨论思想的运用是解题关键．