Question

如图，D、E分别为等边△ABC的边AC、BC上的点，且AD=CE，BD、AE交于点N，BM⊥AE于M．求证：
（1）∠CAE=∠ABD； 
（2）MN=

1

2

BN．

Answer 1

分析：（1）由三角形ABC为等边三角形，得到AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠C=60°，再由AD=CE，利用SAS得出三角形ACE与三角形BAD全等，由全等三角形的对应角相等即可得证；
（2）由（1）得出的全等得到∠EAC=∠ABD，由∠BNM为三角形ABN的外角，利用外角性质得到∠ABN为60°，在直角三角形BNM中，利用30度直角三角形的性质得到BN=2MN，即可得证．

解答：证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠C=60°，
在△ACE和△BAD中，

CE=AD ∠C=∠BAC=60° CA=AB

，
∴△ACE≌△BAD（SAS），
∴∠CAE=∠ABD；

（2）∵△ACE≌△BAD，
∴∠EAC=∠ABD，
∴∠BNM=∠ABD+∠BAN=∠EAC+∠BAN=∠BAC=60°，
在Rt△BMN中，∠MBN=30°，
则MN=

1

2

BN．

点评：此题考查了等边三角形的性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．