Question

若两个实数a，b，使得，a²+b与a+b²都是有理数，称数对（a，b）是和谐的．
①试找出一对无理数，使得（a，b）是和谐的；
②证明：若（a，b）是和谐的，且a+b是不等于1的有理数，则a，b都是有理数；
③证明：若（a，b）是和谐的，且

a

b

是有理数，则a，b都是有理数；

Answer 1

分析：①假设a=

2

+

1

2

，b=

1

2

-

2

，再求出a²+b与a+b²的值，在进行判断即可；
②根据题意可知t=（a²+b）-（a+b²）=（a-b）（a+b-1）是有理数，a+b=s是有理数，进而可用s表示出a，根据a是有理数即可判断出b也是有理数；
③由于a、b的值不能确定，故可分a+b²=0和a+b²≠0两种情况进行判断．

解答：解：①假设a=

2

+

1

2

，b=

1

2

-

2

，则a²+b=（

2

+

1

2

）²+

1

2

-

2

=

11

4

是有理数，
a+b²=

2

+

1

2

+（

1

2

-

2

）²=

11

4

是有理数，
故（a，b）=（

2

+

1

2

，

1

2

-

2

）是和谐的；
②由已知t=（a²+b）-（a+b²）=（a-b）（a+b-1）是有理数，a+b=s是有理数，
因此a-b=

t

a+b-1

，解得a=

1

2

（s+

t

s-1

）是有理数，
当然b=s-a也是有理数；
③若a+b²=0，则b=-

a

b

是有理数，因此a=（a+b²）-b²也是有理数．
若a+b²≠0，由已知x=

a2+b

a+b2

=

( a b )2+ 1 b

a b • 1 b +1

是有理数，y=

a

b

也是有理数，
因此

1

b

=

y2-x

xy-1

，故b=

xy-1

y2-x

是有理数，
因此a=（a+b²）-b²也是有理数．

点评：本题考查的是无理数及有理数的概念及运算，熟知无理数及有理数的概念是解答此题的关键．