Question

关于x的一元二次方程kx²+（2k+1）x+k=0有两个不相等的实数根为x₁，x₂．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根满足：

1

x1

+

1

x2

=0？若存在，请求出实数k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据判别式的意义得到k≠0且△=（2k+1）²-4k•k＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；
（2）先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-

2k+1

k

，x₁•x₂=1，再利用

1

x1

+

1

x2

=0得到x₁+x₂=-

2k+1

k

=0，解得k=-

1

2

，由于k的值不在（1）中的k的取值范围，所以可判断不存在k的值．

解答：解：（1）根据题意得k≠0且△=（2k+1）²-4k•k＞0，
解得k＞-

1

4

且k≠0；

（2）不存在．理由如下：
根据题意得x₁+x₂=-

2k+1

k

，x₁•x₂=1，
∵

1

x1

+

1

x2

=0，
∴

x1+x2

x1x2

=0，
∴x₁+x₂=-

2k+1

k

=0，
解得k=-

1

2

，
∵k＞-

1

4

且k≠0，
∴不存在k的值满足

1

x1

+

1

x2

=0．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程根的判别式．