Question

关于x的方程为x²+（m+2）x+2m-1=0．
（1）证明：方程有两个不相等的实数根．
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根互为相反数？若存在，求出m的值及两个实数根；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）运用一元二次方程根的判别式，当△＞0，一元二次方程有两个不相等的实数根，要证明方程有两个不相等的实数根，即只要证出，△＞0即可．
（2）要使方程的两个实数根互为相反数，利用根与系数的关系，得出x₁+x₂=-

b

a

=0，代入求出即可．

解答：（1）证明：△=（m+2）²-4（2m-1）=m²-4m+8=（m-2）²+4，
∵（m-2）²≥0，
∴（m-2）²+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．

（2）存在实数m，使方程的两个实数根互为相反数．
由题知：x₁+x₂=-（m+2）=0，
解得：m=-2，
将m=-2代入x²+（m+2）x+2m-1=0，
解得：x=±

5

，
∴m的值为-2，方程的根为x=±

5

．

点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式，这种题型在中考中是热点问题．