Question

【题目】定义：在平面直角坐标系中，抛物线（）与直线交于点、（点在点右边），将抛物线沿直线翻折，翻折前后两抛物线的顶点分别为点、，我们将两抛物线之间形成的封闭图形称为惊喜线，四边形称为惊喜四边形，对角线与之比称为惊喜度（Degree of surprise），记作.

（1）如图（1）抛物线沿直线翻折后得到惊喜线.则点坐标 ，点坐标 ，惊喜四边形属于所学过的哪种特殊平行四边形？ ，为 .

（2）如果抛物线（）沿直线翻折后所得惊喜线的惊喜度为1，求的值.

（3）如果抛物线沿直线翻折后所得的惊喜线在时，其最高点的纵坐标为16，求的值并直接写出惊喜度.

Answer 1

【答案】（1）；；菱形；2；（2）；（3），或，.

【解析】

（1）当y=0时可求出点A坐标为，B坐标为，AB=4，根据四边形四边相等可知该四边形为菱形，由可知抛物线顶点坐标为（1，-4），所以B，AB=8，即可得到为2；

（2）惊喜度为1即，利用抛物线解析式分别求出各点坐标，从而得到AC和BD的长，计算即可求出m；

（3）先求出顶点坐标，对称轴为直线，讨论对称轴直线是否在这个范围内，分3中情况分别求出最大值为16是m的值.

解：（1）在抛物线上，

当y=0时，，

解得，，，

∵点在点右边，

∴A点的坐标为，B点的坐标为；

∴AB=4，

∵

∴顶点B的坐标为，

由于BD关于x轴对称，

∴D的坐标为，

∴BD=8，

通过抛物线的对称性得到AB=BC，

又由于翻折，得到AB=BC=AD=CD，

∴惊喜四边形为菱形；

；

（2）由题意得：

的顶点坐标，

解得：，∴

∴，

（3）抛物线的顶点为，对称轴为直线：

①即时，，得

∴

②即时，时，对应惊喜线上最高点的函数值

，∴（舍去）；

∴

③即时形成不了惊喜线，故不存在

综上所述，，或，