Question

【题目】如图，D是线段AB的中点，C是线段AB的垂直平分线上的一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．

（1）求证：DE=DF；

（2）当CD与AB满足怎样的数量关系时，四边形CEDF为正方形？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形CEDF为正方形．理由见解析.

【解析】（1）证明：∵CD垂直平分线AB，∴AC=CB，∴△ABC是等腰三角形．

∵CD⊥AB，∴∠ACD=∠BCD．

∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC=∠DFC=90°，∴∠EDC=∠FDC．

在△DEC与△DFC中，∵∠ACD=∠BCD，CD=CD，∠EDC=∠FDC，∴△DEC≌△DFC（ASA），∴DE=DF；

（2）解：当AB=2CD时，四边形CEDF为正方形．理由如下：

∵AD=BD，AB=2CD，∴AD=BD=CD，∴∠ACD=45°，∠DCB=45°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∴四边形DECF是矩形．

又∵DE=DF，∴四边形CEDF是正方形．