Question

【题目】（教材呈现）

下图是华师版九年级上册数学教材第79页的部分内容．

如图，矩形的对角线、相交于点，、、、分别为、、、的中点，求证：四边形是矩形．

请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程．

（结论应用）

（1）在图①中，若，，则四边形的面积为__________；

（2）如图②，在菱形中，，是其内任意一点，连接与菱形各顶点，四边形的顶点、、、分别在、、、上，，，且，若与的面积和为，则菱形的周长为___________．

Answer 1

【答案】证明见解析；（1）；（2）24

【解析】

由矩形的性质得出OA=OC=OB=OD，再证出OE=OF=OG=OH，即可得出结论．

（1）证明△OEF为等边三角形，得出∠EFO=60°，可求出，则答案即可求出；

（2）过点G作GN⊥EF于点N，由条件可知四边形EFGH为平行四边形，可得∠EFG=60°，设，则，由与的面积和为可列出方程求出x，证明，可得，可求出AB的长，则答案可求出．

解：∵四边形是矩形，

∴，，，

∴，

∵，，，的中点为，

∴，

∴四边形是矩形，

∵，

∴四边形是矩形．

（1）解：∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴为等边三角形，

∴，

∴，

∴四边形的面积为，

故答案为：．

（2）过点作于点，

∵，且

∴四边形为平行四边形，

∴，

∵，

∴，

设，则，

∵与的面积和为，

∴，解得，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴菱形的周长为24．

故答案为：24．