题目内容

如图，?ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．

（1）求AB的长；
（2）求CD的所在直线的函数关系式；
（3）若动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A方向运动，过P作x轴的垂线交x轴于点E，若S_△PBE= $数学公式$ S_△ABO，求此时点P的坐标．
（4）在（3）中，若动点P到达点A后沿AD方向以原速度继续向点D运动，PE与DC边交于点F，如图（2），是否存在这样的t值，使得S_△PBF= $数学公式$ S_△ABO？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，
∴（x-3）（x-4）=0，且OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
由勾股定理，得AB=5；

（2）∵OA=4，OB=3，
∴A点坐标为（0，4），B点的坐标为（-3，0），
∵?ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，
∴D点坐标为（6，4），BC=AD=6，
∴OC=BC-OB=3，
∴C点坐标为（3，0）．
设直线CD的解析式为y=kx+b，则
6k+b=4，3k+b=0，
k= $\text{[math]}$ ，b=-4，
故直线CD的解析式为y= $\text{[math]}$ x-4；

（3）如图1．∵PE∥OA，
∴△PBE∽△ABO，
∴BE：BO=PE：AO=BP：BA，即BE：3=PE：4=t：5，
∴BE= $\text{[math]}$ t，PE= $\text{[math]}$ t，
∵S_△PBE= $\text{[math]}$ S_△ABO，
∴ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ t× $\text{[math]}$ t= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×3×4，
解得t=± $\text{[math]}$ （负值舍去），
∴OE=OB-BE=3- $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =3- $\text{[math]}$ ，PE= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴此时点P的坐标为（-3+ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；

（4）存在这样的t值，能够使得S_△PBF= $\text{[math]}$ S_△ABO．理由如下：
如图2．∵BA+AP=t，
∴AP=t-5，
∴BE=BO+OE=3+t-5=t-2，CE=OE-OC=t-5-3=t-8，PD=AD-AP=6-t+5=11-t．
∵PD∥CE，
∴△PDF∽△ECF，
∴PD：EC=PF：EF，
∴PD：（PD+EC）=PF：（PF+EF），
（11-t）：（11-t+t-8）=PF：4，
∴PF= $\text{[math]}$ ．
∵S_△PBF= $\text{[math]}$ S_△ABO，
∴ $\text{[math]}$ PF×BE= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×3×4，
∴ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×（t-2）=2，
整理，得t²-13t+25=0，
解得t= $\text{[math]}$ （负值舍去）．
故存在t= $\text{[math]}$ ，使得S_△PBF= $\text{[math]}$ S_△ABO．
分析：（1）先解一元二次方程x²-7x+12=0求得OA、OB的长，再运用勾股定理即可求得AB的长；
（2）先由（1）中OA、OB的长得出A、B两点的坐标，再根据平行四边形的性质得到C、D两点的坐标，然后利用待定系数法即可求出CD的所在直线的函数关系式；
（3）先由PE∥OA，得出△PBE∽△ABO，列出比例式，得到BE、PE的长，再根据S_△PBE= $\text{[math]}$ S_△ABO，列出关于t的方程，解方程即可；
（4）先由AP=t-5，得出BE=t-2，CE=t-8，PD=11-t，再根据△PDF∽△ECF，得出PF= $\text{[math]}$ ，然后由S_△PBF= $\text{[math]}$ S_△ABO列出关于t的方程，解方程即可．
点评：本题是一次函数的综合题，涉及到平行四边形的性质，解一元二次方程，勾股定理，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积，相似三角形的性质与判定及动点问题、存在性问题等知识，本题中用含t的代数式正确表示出三角形的底与高是解题的关键．