Question

已知如图，二次函数图象的顶点为,与轴交于、两点(在点右侧),点、关于直线:对称.

(1)求、两点坐标,并证明点在直线上；

(2)求二次函数解析式；

(3)过点作直线∥交直线于点,、分别为直线和直线上的两个动点,连接、、,求和的最小值.

【解析】（1）根据一元二次方程求得A点坐标，代入直线求证，（2）通过点H、B关于直线L对称，求得H的坐标，从而解出二次函数的解析式，(3)先求出HN+MN的最小值是MB, 再求出BM+MK的最小值是BQ,即和的最小值

 

Answer 1

解:(1)依题意,得

解得,

∵点在点右侧

∴点坐标为,点坐标为  （2分）

∵直线:

当时,

∴点在直线上    （3分）

 (2)∵点、关于过点的直线:对称

    ∴

    过顶点作交于点则,

           ∴顶点    （5分）

           把 代入二次函数解析式,解得

           ∴二次函数解析式为    （7分）

(3)直线的解析式为

     直线的解析式为

     由 解得 即,则

  ∵点、关于直线对称

  ∴的最小值是,

过作轴于D点。

  过点作直线的对称点,连接,交直线于

则,,

  ∴的最小值是,即的长

是的最小值     

  ∵∥

  ∴

  在Rt△BKQ， 由勾股定理得      （10分）

∴的最小值为（不同解法参照给分）