Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一动点，AG，DC的延长线交于点F，连接AC，AD，GC，GD．

（1）求证：∠FGC＝∠AGD；

（2）若AD＝6．

①当AC⊥DG，CG＝2时，求sin∠ADG；

②当四边形ADCG面积最大时，求CF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①sin∠ADG＝；②CF＝6．

【解析】

（1）由垂径定理可得CE＝DE，CD⊥AB，由等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质可得∠FGC＝∠ADC＝∠ACD＝∠AGD；

（2）①如图，设AC与GD交于点M，证△GMC∽△AMD，设CM＝x，则DM＝3x，在Rt△AMD中，通过勾股定理求出x的值，即可求出AM的长，可求出sin∠ADG的值；

②S四边形ADCG＝S△ADC+S△ACG，因为点G是上一动点，所以当点G在的中点时，△ACG的的底边AC上的高最大，此时△ACG的面积最大，四边形ADCG的面积也最大，分别证∠GAC＝∠GCA，∠F＝∠GCA，推出∠F＝∠GAC，即可得出FC＝AC＝6．

证明：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴CE＝DE，CD⊥AB，

∴AC＝AD，

∴∠ADC＝∠ACD，

∵四边形ADCG是圆内接四边形，

∴∠ADC＝∠FGC，

∵∠AGD＝∠ACD，

∴∠FGC＝∠ADC＝∠ACD＝∠AGD，

∴∠FGC＝∠AGD；

（2）①如图，设AC与GD交于点M，

∵，

∴∠GCM＝∠ADM，

又∵∠GMC＝∠AMD，

∴△GMC∽△AMD，

∴＝＝＝，

设CM＝x，则DM＝3x，

由（1）知，AC＝AD，

∴AC＝6，AM＝6﹣x，

在Rt△AMD中，

AM2+DM2＝AD2，

∴（6﹣x）2+（3x）2＝62，

解得，x1＝0（舍去），x2＝，

∴AM＝6﹣＝，

∴sin∠ADG＝＝＝；

②S四边形ADCG＝S△ADC+S△ACG，

∵点G是上一动点，

∴当点G在的中点时，△ACG的底边AC上的高最大，此时△ACG的面积最大，四边形ADCG的面积也最大，∴GA＝GC，

∴∠GAC＝∠GCA，

∵∠GCD＝∠F+∠FGC，

由（1）知，∠FGC＝∠ACD，且∠GCD＝∠ACD+∠GCA，

∴∠F＝∠GCA，

∴∠F＝∠GAC，

∴FC＝AC＝6．