Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．

 

 

Answer 1

解：（1）∵该抛物线过点C（0，2），

∴可设该抛物线的解析式为y=ax²+bx+2．

将A（﹣1，0），B（4，0）代入，

得 ，

解得 ，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x²+x+2．

（2）存在．

由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．

在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，

∴BC==．

在Rt△BOC中，设BC边上的高为h，则×h=×2×4，

∴h=．

∵△BEA∽△COB，设E点坐标为（x，y），

∴=，∴y=±2

将y=2代入抛物线y=﹣x²+x+2，得x1=0，x2=3．

当y=﹣2时，不合题意舍去．

∴E点坐标为（0，2），（3，2）．

（3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，

∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°．

设BC的解析式为y=kx+b，由图象，得

，

∴，

y_BC=﹣x+2．

由BC∥AD，设AD的解析式为y=﹣x+n，由图象，得

0=﹣×（﹣1）+n

∴n=﹣，

y_AD=﹣x﹣．

∴﹣x²+x+2=﹣x﹣，

解得：x₁=﹣1，x₂=5

∴D（﹣1，0）与A重合，舍去，D（5，﹣3）．

∵DE⊥x轴，

∴DE=3，OE=5．

由勾股定理，得BD=．

∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），

∴OA=1，OB=4，OC=2．

∴AB=5

在Rt△AOC中，Rt△BOC中，由勾股定理，得

AC=，BC=2，

∴AC²=5，BC²=20，AB²=25，

∴AC²+BC²=AB²

∴△ACB是直角三角形，

∴∠ACB=90°．

∵BC∥AD，

∴∠CAF+∠ACB=180°，

∴∠CAF=90°．

∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°，

∴四边形ACBF是矩形，

∴AC=BF=，

在Rt△BFD中，由勾股定理，得DF=，

∴DF=BF，

∴∠ADB=45°．