Question

【题目】如图，抛物线的解析式为y＝﹣x+5，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，抛物线对称轴与直线BC交于点D．

（1）E点是线段BC上方抛物线上一点，过点E作直线EF平行于y轴，交BC于点F，若线段CD长度保持不变，沿直线BC移动得到C'D'，当线段EF最大时，求EC'+C'D'+D'B的最小值；

（2）Q是抛物线上一动点，请问抛物线对称轴上是否存在一点P是△APQ为等边三角形，若存在，请直接写出三角形边长，若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，满足要求的等边三角形的边长可以是：6、2、2．

【解析】

（1）根据解析式把必要的点的坐标及线段长度求出来备用．将E点横坐标设为未知数，用E、F的纵坐标之差表示EF长度，通过配方求EF的最值及取得最值时E点坐标．由于C'D'长度不变，因此将EC'平移至E'D'，注意到∠CBO是30°，作D'G⊥OB于G，E'H⊥OB于H，根据垂线段最短原理即可确定最值．

（2）图形有四种情况，分别进行构图求解．当Q与B重合时对应两种图（P到x上方和下方），这两种情况的等边三角形的边长是一样的，就是AB的长；第三种情况，Q与C重合，此时的等边三角形边长就是AC长度（这种情况下，P其实就是△ABC的外心）；第四种情况，Q在第三象限，由于PQ＝PA＝PB，根据圆周角与圆心角的关系可得∠ABQ＝30°，于是可求出BQ解析式，将BQ解析式与抛物线解析式联立方程组可解出Q点坐标，然后由两点间的距离公式求出AQ长度就是对应的等边三角形的边长．

解：（1）因为y＝﹣x2+x+5＝﹣（x﹣5）（x+），

∴A（﹣，0），B（5，0），C（0，5），抛物线对称轴为x＝＝2，

由B、C坐标可求得直线BC的解析式为y＝﹣x+5，

令x＝2，则y＝﹣×2+5＝3，

∴D（2，3），

∴CD＝C'D'＝4．

设E（m，﹣m2+m+5），则F（m，﹣m+5），

∴EF＝yE﹣yF＝﹣m2+m+5+m﹣5＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，

∴当m＝时，EF取得最大值，此时E（，）．

如图1，作平行四边形EC'D'E'，则EC'＝E'D'，E'（，）．

作D'G⊥OB于G，E'H⊥OB于H．

∵tan∠CBO＝＝＝，所以∠CBO＝30°，

∴D'G＝D'B，

∴EC'+C'D'+D'B＝C'D'+E'D'+D'G≥C'D'+E'H，

当且仅当E'、D'、G三点共线时，

EC'+C'D'+D'B取得最小值C'D'+E'H＝4+＝．

（2）①如图2，△APQ是等边三角形，此时Q与B重合，

∴等边三角形的边长为AQ＝AB＝6．

②如图3，△APQ是等边三角形，此时Q与B重合，P在x轴下方．

∴等边三角形的边长为AQ＝AB＝6．

③如图4，△APQ是等边三角形，此时Q与C重合，P在x轴上方．

∴等边三角形的边长为AQ＝AC＝2．

④如图5，△APQ是等边三角形，此时Q在第三象限，P在x轴下方．

∵PA＝PB＝PQ，所以A、Q、B三点在以P为圆心PA为半径为圆周上，

∴∠ABQ＝∠APQ＝30°，

∴直线BQ的解析式为y＝x﹣5，

联立方程组，

解得或（舍），

∴Q＝（﹣2，﹣7），

∴AQ＝2，即等边△APQ的边长为2．

综上所述，满足要求的等边三角形的边长可以是：6、2、2．