Question

已知：正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD上一点，且ED=FC，ED、FC交于点G，连接BG，BH平分∠GBC交FC于H，连接DH．
（1）求证：ED⊥FC；
（2）求证：△DGH是等腰直角三角形．

Answer 1

分析：（1）根据全等三角形判定方法得出Rt△AED≌Rt△FDC，进而根据四边形内角和定理得出∠FGE=90°即可得出答案；
（2）利用已知得出B、C、G、E四点共圆，得出BG=BC，进而得到BH是GC的中垂线，再利用△BHC≌△CGD，得出GH=DG即可得出答案．

解答：证明：（1）∵在正方形ABCD中，
∴AD=CD，
∵ED=FC，∠CDA=∠A=90°，
即在Rt△AED和Rt△FDC中，
∵

AD=CD FC=ED

，
∴Rt△AED≌Rt△FDC（HL），
∴∠AED=∠DFC，
∵∠AFC+∠DFC=180°，
∴∠AFC+∠AED=180°，
∴∠A+∠FGE=180°（四边形内角和定理），
∵∠A=90°，
∴∠FGE=90°，
即ED⊥FC；

（2）连接EC，
∵由（1）得∠FGE=90°，∠ABC=90°，
∴∠EGC+∠EBC=180°，
∴B、C、G、E四点共圆（如图所示），
∴∠AED=∠BCG，
∴∠BGC=∠BEC，
在RT△BCE和RT△ADE中，
∵

BE=AE ∠EBC=∠A BC=AD

，
∴RT△BCE≌RT△ADE（SAS），
∴∠AED=∠BEC，
∴∠BGC=∠AED，
∴∠BGC=∠BCG，
∴BG=BC，
又∵BH平分∠GBC交FC于H，
∴BH是GC的中垂线，
∴GH=HC，∠BHC=90°，
∵∠BCH+∠GCD=90°，∠GCD+∠GDC=90°，
∴∠BCH=∠CDG，
∵∠DGC=∠BHC=90°，CD=CB，
∴

∠CGD=∠BHC ∠GDC=∠HCB BC=CD

，
∴△BHC≌△CGD，
∴DG=HC，
∵GH=HC，
∴GH=DG，
又∵∠FGE=90°，
∴△DGH是等腰直角三角形．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与四点共圆的性质与判定，根据已知得出B、C、G、E四点共圆，以及BH是GC的中垂线是解题关键．