Question

如图，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点，交双曲线y=于点D，过点D作两坐标轴的垂线DC、DE，连接OD．
（1）请找出图形中所有的等腰直角三角形．（不必写过程）
（2）对任意的实数b（b≠0），AD•BD为定值______．（直接写出答案）；
（3）是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵直线y=x+b，
∴比例系数k=1，
∴∠EBD=∠DAC=45°，
又DC⊥x轴，DE⊥y轴，
∴△AOB、△ACD、△BDE是等腰直角三角形；

（2）由（1）知△ACD和△BDE均为等腰直角三角形．
∴AD=CD，BD=DE．
∵点D在双曲线y=上，
∴CD•DE=2，
∴AD•BD=CD•DE=2×2=4为定值，
定值为4；

（3）存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形．
理由如下：若四边形OBCD为平行四边形，则AO=AC，OB=CD，
由（1）知AO=BO，AC=CD，
设OB=a （a＞0），
则B（0，-a），D（2a a），
∵点D在双曲线y=上，
∴2a•a=2，
解得a₁=1，a₂=-1（舍去），
∴B（0，-1），D（2，1）
又B在y=x+b上，
∴b=-1，
即存在直线AB：y=x-1，使得四边形OBCD为平行四边形．
分析：（1）根据直线的k值等于1，与坐标轴相交所成的锐角是45°，所以与坐标轴所成夹角为锐角的直角三角形都是等腰直角三角形；
（2）根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍，用CD表示出AD的长度，用DE表示出BD的长度，再根据反比例函数解析式，CD•DE的值等于k值进行解答；
（3）根据平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分的性质，OB=a（a＞0），表示出点B与点D的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式求出a值，如果求出a＞0，然后得到点B的坐标，再根据点B在直线y=x+b上，把点B的坐标代入直线解析式求出b值即可，如果a≤0，则不存在满足条件的直线．
点评：本题是反比例函数综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质．