Question

已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P、G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF．
（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．
①求证：DG=2PC；
②求证：四边形PEFD是菱形；
（2）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．

Answer 1

考点：四边形综合题,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,旋转的性质

专题：几何综合题

分析：（1）①作PM⊥DG于M，根据等腰三角形的性质由PD=PG得MG=MD，根据矩形的判定易得四边形PCDM为矩形，则PC=MD，于是有DG=2PC；
②根据四边形ABCD为正方形得AD=AB，由四边形ABPM为矩形得AB=PM，则AD=PM，再利用等角的余角相等得到∠GDH=∠MPG，于是可根据“ASA”证明△ADF≌△MPG，得到DF=PG，加上PD=PG，得到DF=PD，然后利用旋转的性质得∠EPG=90°，PE=PG，所以PE=PD=DF，再利用DF⊥PG得到DF∥PE，于是可判断四边形PEFD为平行四边形，加上DF=PD，则可判断四边形PEFD为菱形；
（2）与（1）中②的证明方法一样可得到四边形PEFD为菱形．

解答：（1）证明：①作PM⊥DG于M，如图1，
∵PD=PG，
∴MG=MD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴PCDM为矩形，
∴PC=MD，
∴DG=2PC；
②∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，
∵四边形ABPM为矩形，
∴AB=PM，
∴AD=PM，
∵DF⊥PG，
∴∠DHG=90°，
∴∠GDH+∠DGH=90°，
∵∠MGP+∠MPG=90°，
∴∠GDH=∠MPG，
在△ADF和△MPG中

∠A=∠GMP AD=PM ∠ADF=∠MPG

，
∴△ADF≌△MPG（ASA），
∴DF=PG，
而PD=PG，
∴DF=PD，
∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，
∴∠EPG=90°，PE=PG，
∴PE=PD=DF，
而DF⊥PG，
∴DF∥PE，
即DF∥PE，且DF=PE，
∴四边形PEFD为平行四边形，
∵DF=PD，
∴四边形PEFD为菱形；

（2）解：四边形PEFD是菱形．理由如下：
作PM⊥DG于M，如图2，与（1）一样同理可证得△ADF≌△MPG，
∴DF=PG，
而PD=PG，
∴DF=PD，
∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，
∴∠EPG=90°，PE=PG，
∴PE=PD=DF
而DF⊥PG，
∴DF∥PE，
即DF∥PE，且DF=PE，
∴四边形PEFD为平行四边形，
∵DF=PD，
∴四边形PEFD为菱形．

点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定与性质是解题的关键；同时会运用等腰三角形的性质和旋转的性质；会利用三角形全等解决线段相等的问题．