Question

7．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，点G是线段DE上一点，且∠EGF=45°，若AB=10，则DG=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 如图，连接EF、DF，作FM⊥DE于M．先求出△DEF的面积，再求出高FM，利用勾股定理求出EM、DM，利用等腰三角形的性质求出DG即可解决问题．

解答 解：如图，连接EF、DF，作FM⊥DE于M．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=10，
∵AE=EB=BF=FC=5，
∴ED=$\sqrt{A{E}^{2}+A{D}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，EF=$\sqrt{B{E}^{2}+B{F}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴S_△DEF=100-$\frac{1}{2}$×10×5-$\frac{1}{2}$×10×5-$\frac{1}{2}$×5×5=$\frac{1}{2}$×DE•FM，
∴FM=3$\sqrt{5}$，
在Rt△EFM中，EM=$\sqrt{E{F}^{2}-F{M}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴DM=DE-EM=4$\sqrt{5}$，
∵∠MGF=45°，
∴∠MGF=∠MFG=45°，
∴MG=FM=3$\sqrt{5}$，
∴DG=DM-MG=$\sqrt{5}$．
故答案为$\sqrt{5}$．

点评 本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形面积，学会添加常用辅助线，构造直角三角形，属于中考常考题型．