题目内容
（1）如图1，在锐角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高线，BD与CE相交于点P，若已知∠A=50°，∠BPC的度数为多少；
（2）如图2，在钝角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高线，BD与EC的延长线相交于点P，若已知∠A=50°，则∠BPC的度数为多少；
（3）在△ABC中，若∠A=α，请你探索AB、AC边上的高线（或延长线）相交所成的∠BPC的度数．（可以用含α的代数式表示）
（2）如图2，在钝角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高线，BD与EC的延长线相交于点P，若已知∠A=50°，则∠BPC的度数为多少；
（3）在△ABC中，若∠A=α，请你探索AB、AC边上的高线（或延长线）相交所成的∠BPC的度数．（可以用含α的代数式表示）
分析：（1）根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠ACE=90°，∠BPC+∠PCD=90°，再根据∠ACE和∠PCD是对顶角解答即可；
（3）分∠A是锐角时△ABC是锐角三角形，钝角三角形讨论求解，∠A是直角钝角时讨论求解．
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠ACE=90°，∠BPC+∠PCD=90°，再根据∠ACE和∠PCD是对顶角解答即可；
（3）分∠A是锐角时△ABC是锐角三角形，钝角三角形讨论求解，∠A是直角钝角时讨论求解．
解答：解：（1）∵∠A=50°，BD是AC边上的高，
∴∠ABD=90°-∠A=90°-50°=40°，
∵CE是AB边上的高，
∴∠BEC=90°，
∴∠BPC=∠ABD+∠BEC=40°+90°=130°；
（2）∵BD、CE分别是AC、AB边上的高线，
∴∠A+∠ACE=90°，∠BPC+∠PCD=90°，
∵∠ACE=∠PCD（对顶角相等），
∴∠BPC=∠A=50°；
（3）当∠A=α是锐角时，
①△ABC是锐角三角形时，根据（1）∠BPC=90°+（90°-∠A）=180°-α；
②△ABC是钝角三角形时，根据（2）∠BPC=∠A=α；
当∠A是直角时，∠BPC=90°，
当∠A是钝角时，∠BPC=180°-α．
∴∠ABD=90°-∠A=90°-50°=40°，
∵CE是AB边上的高，
∴∠BEC=90°，
∴∠BPC=∠ABD+∠BEC=40°+90°=130°；
（2）∵BD、CE分别是AC、AB边上的高线，
∴∠A+∠ACE=90°，∠BPC+∠PCD=90°，
∵∠ACE=∠PCD（对顶角相等），
∴∠BPC=∠A=50°；
（3）当∠A=α是锐角时，
①△ABC是锐角三角形时，根据（1）∠BPC=90°+（90°-∠A）=180°-α；
②△ABC是钝角三角形时，根据（2）∠BPC=∠A=α；
当∠A是直角时，∠BPC=90°，
当∠A是钝角时，∠BPC=180°-α．
点评：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的高线，（3）要注意分情况讨论求解．
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