Question

如图，将Rt△AOB放置在平面直角坐标系xOy中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB=2

3

，斜边OB在x轴的正半轴上，点A在第一象限，∠AOB的平分线OC交AB于C．动点P从点B出发沿折线BC-CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO-Oy以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．
（1）求OC、BC的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；当t为何值时，S有最值，并求其最值．

Answer 1

分析：（1）先在直角三角形AOB中根据OB和cos60°，利用三角函数的定义求出OA，然后根据角平分线的定义得到∠AOC等于30°，在△AOC中，利用OA和cos30°，由三角函数的定义即可求出OC的长，根据等角对等边可知BC等于OC；
（2）分两种情况考虑：第一，P在BC边上，根据速度和时间t得到PB等于CQ都等于t，过Q作DE与AC垂直，QE等于CQsin60°，CP等于BC减去PB，利用三角形的面积公式即可列出S与t的函数关系式；第二，当P在边CQ上时，同理可得S与t的关系式，然后求得二次函数的最值即可；

解答：解：（1）∵∠AOB=60°，
∴在Rt△AOB中，
OA=OBcos60°=

3

，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠COB=30°，
∴OC=

AO

cos30°

=2，
∵∠COB=∠CBO=30°，
∴BC=OC=2；

（2）当0＜t≤2时，S=

1

2

t（2-t）sin60°=-

3

4

t2+

3

2

t=-

3

4

（t-1）²+

3

4

，当t=1时，有最大值是

3

4

；
当2≤t＜4时S=

1

2

（t-2）（4-t）sin60°=-

3

4

t²+

3 3

2

t-2

3

=-

3

4

（t-3）²+

3

4

，当t=3时，有最大值是

3

4

；
综上，当t=1或3时，S有最大值是

3

4

．

点评：此题考查学生会根据已知的边和角利用三角函数的定义求出未知边和角，掌握直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半及等腰三角形的性质与判断，注意灵活运用分类讨论的方法解决实际问题，是一道综合题．学生做题时应注意考虑问题要全面．