Question

如图，AB是⊙O的弦，点D是的中点，过B作AB的垂线交AD的延长线于C．
求证：AD=DC．

Answer 1

证明：连接DB，
∵点D是的中点，
∴=，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠C=∠DBC，
∴DB=DC，
∴AD=DC．
分析：连接BD，如图，因为D为的中点，根据等弧对等弦可知AD等于BD，根据等边对等角得到∠A等于∠ABD，又等角的余角相等得到∠C等于∠DBC，根据等角对等边得到DB等于DC，等量代换得证．
点评：此题考查学生掌握等弧所对的弦相等，灵活运用等腰三角形的性质与判断定理，解题的关键在于根据D是弧的中点添加辅助线．