Question

如图，⊙O与正六边形的相邻两边相切，切点分别是D、E，若P是⊙O上异于D、E的任一点，那么∠DPE的度数为

30°或150°

．

Answer 1

分析：连接OD，OE，由圆O与正六边形相邻两边相切，得到OD与边DA，OE与边EB垂直，再由正六边形的每一个内角为120°，利用四边形的内角和定理求出圆心角∠DOE的度数，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍即可求出∠DPE的度数．

解答：解：连接OD，OE，
∵圆与正六边形邻边相切，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，
∴∠ODC=∠OEC=90°，
∵正六边形的内角为120°，即∠C=120°，
∴∠DOE=60°，
当P在

DPE

上时，如图所示，∠DPE=

1

2

∠DOE=30°；
当P在

DE

上时，∠DPE=150°，
综上，∠DPE=30°或150°．
故答案为：30°或150°

点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，正六边形的性质，此题答案有两解，注意不要漏解．