Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OBCD的顶点B、D分别在x、y轴的正半轴上，点A在x负半轴上，若 OD=3AO，AC=10．
（1）求点A的坐标；
（2）若点Q、P分别从点C、A同时出发，点Q沿线段CA向终点A运动，点P沿线段AB向终点B运动，Q点的速度为每秒5个单位长度，P点的速度为每秒4个单位长度，过P点作x轴的垂线交AC于点R，设线段QR的长为y，运动时间为t（t＞0）秒，求y与t的函数关系式（请直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当△PQR是以RQ为腰的等腰三角形时，求出t的值．

Answer 1

分析：（1）设AO=x，则DO=3x，由正方形的性质就可以得出OB=BC=3x，在Rt△ABC中由勾股定理可以得出x的值，从而得出结论；
（2）当t=1时，QR=0，分两种情况分别求出当0＜t＜1或1＜t≤2时就可以求出y与x之间的关系式；
（3）分三种情况如图4，图5，图6由等腰三角形的性质就可以求出结论．

解答：解：（1）∵OD=3AO，设AO=x，
∴DO=3x．
∵四边形OBCD是正方形，
∴OD=OB=BC=3x，∠ABC=90°，
∴AB=4x．
∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得
16x²+9x²=100，
解得：x=2，
∴OA=2，OD=OB=BC=6，AB=8．
∴A（-2，0）；

（2）∵AB=8，BC=6，
∴tan∠BAC=

6

8

=

3

4

．cos∠BAC=

4

5

当0＜t＜1时，如图2，
∵CQ=5t，AP=4t，
∴AR=5t．
∴QR=10-10t，
即y=-10t+10；
当1＜t≤2时，如图3，
∵CQ=5t，AP=4t，
∴AR=5t，AQ=10-5t，
∴QR=5t-（10-5t）=10t-10，
即y=10t-10；

（3）如图4，当QR=PR时，
∵AP=4t，
∴PR=3t，
∴3t=-10t+10，
∴t=

10

13

；
如图5，当QR=PQ时，AQ=10-5t，
作QS⊥AP，AS=8-4t，SQ=6-3t
∴SP=8t-8，
在Rt△PQS中，由勾股定理，得
（10t-10）²=（6-3t）²+（8t-8）²，
解得：x₁=0（舍去），x₂=

4

3

；
如图6，当QR=PR时，
AP=4t，
∴PR=3t，
∴10t-10=3t，
∴t=

10

7

．
答：当t=

10

13

，

4

3

或

10

7

时△PQR是以RQ为腰的等腰三角形．

点评：本题考查了勾股定理的性质的运用，正方形的性质的运用，三角函数值的运用，分段函数在实际问题中的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时求出y与t的函数关系式是关键．