题目内容

已知，M是等边△ABC边BC上的点．
（1）如图1，过点M作MN∥AC，且交AB于点N，求证：BM=BN；
（2）如图2，连接AM，过点M作∠AMH=60°，MH与∠ACB的邻补角的平分线交与点H，过H作HD⊥BC于点D．
①求证：MA=MH；　②猜想写出CB，CM，CD之间的数量关系式，并加于证明；
（3）如图3，（2）中其它条件不变，若点M在BC延长线上时，（2）中两个结论还成立吗？若不成立请直接写出新的数量关系式（不必证明）．

（1）证明：∵MN∥AC
∴∠BMN=∠C=60°，∠BNM=∠B=60°，
∴∠BMN=∠BNM，
∴BM=BN；

（2）①证明：过M点作MN∥AC交AB于N，
则BM=BN，∠ANM=120°
∵AB=AC，
∴AN=MC，
∵CH是∠ACB外角平分线，所以∠ACH=60°，
∴∠MCH=∠ACB+∠ACH=120°，
又∵∠NMC=120°，∠AMH=60°，
∴∠HMC+∠AMN=60°
又∵∠NAM+∠AMN=∠BNM=60°，
∴∠HMC=∠MAN，
在△ANM和△MCH中 $\text{[math]}$ ，
∴△AMN≌△MHC（ASA），
∴MA=MH；

②CB=CM+2CD；

证明：过M点作MG⊥AB于G，
∵△AMN≌△MHC，
∴MN=HC，
∵MN=MB，
∴HC=BM，
∵△BMN为等边三角形，
∴BM=2BG，
在△BMG和△CHD中 $\text{[math]}$ ，
∴△BMG≌△CHD（AAS），
∴CD=BG，
∴BM=2CD
所以BC=MC+2CD；

（3）（2）中结论①成立，②不成立，
过M点作MN∥AB交AC延长线于N，
∵MN∥AB，
∴∠N=∠BAC=60°，
∴∠ACB=60°，
∴∠NCM=60°，
∴∠NMC=180°-60°-60°=60°，
∴△CNM是等边三角形，
∴CM=MN，
∵∠AMH=60°，∠CMN=60°，

∴∠AMH+∠1=∠CMN+∠1，
即∠AMN=∠CMH，
在△AMN和△HMC中 $\text{[math]}$ ，
∴△AMN≌△HMC（ASA），
∴MA=MH；
AN=CH，
∵∠HDC=90°，∠HCD=60°，
∴∠CHD=30°，
∴CH=2CD，
∵AC=BC，CN=CM
∴AN=AC+CN=BC+CN=CB+CM，
∵AN=CH，
2CD=CB+CM，
即：CB=2CD-CM．
分析：（1）根据平行线的性质和等边三角形的性质可得∠BMN=∠C=60°，∠BNM=∠B=60°，在根据等角对等边可得MB=BN；
（2）①过M点作MN∥AC交AB于N，然后证明△AMN≌△MHC，再根据全等三角形的性质可得MA=MH；
②过M点作MG⊥AB于G，再证明△BMG≌△CHD可得CD=BG，因为BM=2CD可得BC=MC+2CD；
（3）（2）中结论①成立，②不成立；过M点作MN∥AB交AC延长线于N，证明△AMN≌△HMC可得MA=MH，AN=CH，再根据∠CHD=30°，可得CH=2CD，又有AC=BC，CN=CM可得AN=AC+CN=BC+CN=CB+CM，进而得到2CD=CB+CM．
点评：此题主要考查了等边三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是正确作出辅助线，熟练掌握证明三角形全等的方法．