Question

（2012•云和县模拟）记抛物线y=-x²+2012的图象与y正半轴的交点为A，将线段OA分成2012等份，设分点分别为P₁，P₂，…，P₂₀₁₁，过每个分点作y轴的垂线，分别与抛物线交于点Q₁，Q₂，…，Q₂₀₁₁，再记直角三角形OP₁Q₁，P₁P₂Q₂，…的面积分别为S₁，S₂，…，这样就记w=s12+s22+…+s20112，W的值为（　　）

A．505766

B．505766.5

C．505765

D．505764

Answer 1

分析：根据等分求出OP₁=P₁P₂=P₂P₃=P₃P₄=…=P₂₀₁₀P₂₀₁₁=1，再利用抛物线解析式求出P₁Q₁，P₂Q₂，…，P₂₀₁₁Q₂₀₁₁的平方的值，利用三角形的面积表示出S₁，S₂，…，并平方后相加，然后根据等差数列求和公式进行计算即可得解．

解答：解：∵P₁，P₂，…，P₂₀₁₁将线段OA分成2012等份，
∴OP₁=P₁P₂=P₂P₃=P₃P₄=…=P₂₀₁₀P₂₀₁₁=1，
∵过分点P₁作y轴的垂线，与抛物线交于点Q₁，
∴-x²+2012=1，
解得x²=2011，
∴S₁²=（

1

2

×1×P₁Q₁）²=

1

4

×2011，
同理可得S₂²=

1

4

×2010，
S₃²=

1

4

×2009，
…
S₂₀₁₁²=

1

4

×1，
∴w=S₁²+S₂²+S₃²+…+S₂₀₁₁²
=

1

4

×2011+

1

4

×2010+

1

4

×2009+…+

1

4

×1
=

1

4

×

2011×(2011+1)

2

=505766.5．

点评：本题是对二次函数的综合考查，根据图形的变化规律，分别表示出各三角形的面积的平方是解题的关键．