Question

如图，已知有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的顶点A、B、C、D同时出发，沿AB、BC、CD、DA以同样的速度匀速向B、C、D、A移动．
（1）求证：四边形PQEF是正方形．
（2）PE是否总过某一点，并说明理由．
（3）四边形PQEF的顶点在何处时，其面积有最小值和最大值，并求其最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形，故可根据正方形的定义证明四边形PQEF是否使正方形．
（2）证PE是否过定点时，可连接AC，证明四边形APCE为平行四边形，即可证明PE过定点．
（3）当对角线最小时，面积最小，对角线最大值时，面积最大．

解答：解：（1）在正方形ABCD中，AP=BQ=CE=DF，AB=BC=CD=DA，
∴BP=QC=ED=FA．
又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，
∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF．
∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB，
∴∠APF+∠BPQ=∠PQB+∠BPQ=90°，
∴四边形PQEF为正方形；

（2）连接PC、AE，

∵AP平行且等于EC，
∴四边形APCE为平行四边形．
∴O为对角线AC的中点，
∴对角线PE总过AC的中点O；

（3）正方形ABCD与正方形PQEF的对角线交点是重合的，
当OP⊥AB时，四边形PQEF面积最小，为原正方形面积的一半，此时S_{正方形PQEF}=

1

2

S_{正方形ABCD}．
当P与顶点B重合时，面积最大，S_{正方形PQEF}=S_{正方形ABCD}．

点评：本题考查了四边形的综合题，在证明过程中，应用了正方形的性质和平行四边形的判定定理，为使问题简单化，在证明过程中，可适当加入辅助线，此题难度一般．