Question

如图所示，Rt△ABC是一张放在平面直角坐标系中的纸片，点C与原点O重合，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，已知OA＝3，OB＝4．将纸片的直角部分翻折，使点C落在AB边上，记为D点，AE为折痕，E在y轴上．

(1)在图所示的直角坐标系中，求E点的坐标及AE的长．

(2)线段AD上有一动点P(不与A、D重合)自A点沿AD方向以每秒1个单位长度向D点作匀速运动，设运动时间为t秒(0＜t＜3)，过P点作PM∥DE交AE于M点，过点M作MN∥AD交DE于N点，求四边形PMND的面积S与时间t之间的函数关系式，当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？

(3)当t(0＜t＜3)为何值时，A、D、M三点构成等腰三角形？并求出点M的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1) 　　据题意，△AOE≌△ADE 　　∴OE＝DE，∠ADE＝∠AOE＝90°，AD＝AO＝3 　　在Rt△AOB中， 　　 　　设DE＝OE＝x 　　在Rt△BED中 　　BD2＋DE2＝BE2 　　即22＋x2＝(4－x)2 　　解得 　　∴E(0，) 　　在Rt△AOE中 　　 　　(2)∵PM∥DE，MN∥AD，且∠ADE＝90° 　　∴四边形PMND是矩形 　　∵AP＝t×1＝t 　　∴PD＝3－t 　　∵△AMP∽△AED 　　∴ 　　∴PM＝ 　　∴ 　　∴或 　　当时 　　 　　(3)△ADM为等腰三角形有以下二种情况 　　①当MD＝MA时，点P是AD中点 　　∴ 　　∴(秒) 　　∴当时，A、D、M三点构成等腰三角形 　　过点M作MF⊥OA于F 　　∵△APM≌△AFM 　　∴AF＝AP＝，MF＝MP＝ 　　∴OF＝OA－AF＝3－ 　　∴M(，) 　　②当AD＝AM＝3时 　　△AMP∽△AED 　　∴ 　　∴ 　　∴ 　　∴(秒) 　　∴当秒时，A、D、M三点构成等腰三角形 　　过点M作MF⊥OA于F 　　∵△AMF≌△AMP 　　∴AF＝AP＝，FM＝PM＝ 　　∴OF＝OA－AF＝3－ 　　∴M(，)