Question

8．已知正数x满足x¹⁰+x⁵+$\frac{1}{{x}^{5}}$+$\frac{1}{{x}^{10}}$=15250，则x+$\frac{1}{x}$的值为3．

Answer 1

分析 可令x⁵+$\frac{1}{{x}^{5}}$=m，则x¹⁰+x⁵+$\frac{1}{{x}^{5}}$+$\frac{1}{{x}^{10}}$=15250变形为（x⁵+$\frac{1}{{x}^{5}}$）²+（x⁵+$\frac{1}{{x}^{5}}$）-15252=0，得到m²+m-15252=0，解得m，再令x+$\frac{1}{x}$=a，得到x⁵+$\frac{1}{{x}^{5}}$=（x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$）（x+$\frac{1}{x}$）-（x³+$\frac{1}{{x}^{3}}$）=a（a⁴-4a²+2）-（a³-3a）=a⁵-5a³+5a，得到a⁵-5a³+5a=123，再根据公因式法解方程即可求解．

解答 解：令x⁵+$\frac{1}{{x}^{5}}$=m，
则x¹⁰+x⁵+$\frac{1}{{x}^{5}}$+$\frac{1}{{x}^{10}}$=15250变形为（x¹⁰+$\frac{1}{{x}^{10}}$）+（x⁵+$\frac{1}{{x}^{5}}$）-15250=0，
（x⁵+$\frac{1}{{x}^{5}}$）²+（x⁵+$\frac{1}{{x}^{5}}$）-15252=0，
即m²+m-15252=0，
（m-123）（m+124）=0，
解得m₁=123，m₂=-124，
∵x为正数，
∴m₂=-124不合题意舍去，
∴m=123，
令x+$\frac{1}{x}$=a，
则x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x+$\frac{1}{x}$）²-2=a²-2，
x³+$\frac{1}{{x}^{3}}$=（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）（x+$\frac{1}{x}$）-（x+$\frac{1}{x}$）=a（a²-2）-a=a³-3a，
x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$=（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）²-2=（a²-2）²-2=a⁴-4a²+2，
x⁵+$\frac{1}{{x}^{5}}$=（x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$）（x+$\frac{1}{x}$）-（x³+$\frac{1}{{x}^{3}}$）=a（a⁴-4a²+2）-（a³-3a）=a⁵-5a³+5a，
∴a⁵-5a³+5a=123，
（a⁵-3a⁴）+3（a⁴-3a³）+4（a³-3a²）+12（a²-3a）+41（a-3）=0，
（a-3）（a⁴+3a³+4a²+12a+41）=0，
∴a-3=0，
解得a=3，
即x+$\frac{1}{x}$的值为3．
故答案为：3．

点评 考查了换元法解分式方程，利用完全平方公式以及提取公因式法进行分解得出是解题的关键．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．