Question

如图①，点P是正方形ABCD的BC边上的一点，以DP为边长的正方形DEFP与正方形ABCD在BC的同侧，连接AC、FB．
（1）请你判断FB与AC又怎样的位置关系？并证明你的结论；
（2）若点P在射线CB上运动时，如图②，判断（1）中的结论FB与AC的位置关系是否仍然成立？并说明理由；
（3）当点P在射线CB上运动时，请你指出点E的运动路线，不必说明理由．

Answer 1

分析：（1）过F作FM⊥BC于M，证△PFM≌△DPC（AAS），推出DC=PM，FM=PC，求出∠FBM=45°即可．
（2）中结论是还正确，过F作FM⊥BC于M，证△PFM≌△DPC（AAS），推出DC=PM，FM=PC，求出∠FBM=45°即可．
（3）当点P在直线BC上移动时，E的轨迹是图中的线段GA，理由是△DCP绕D顺时针旋转90°，到达△DAE 即可以确定E的轨迹．

解答：（1）FB∥AC，
证明：过F作FM⊥BC于M，
∵四边形ABCD、DEFP是正方形，
∴∠ACB=45°，DC=BC，PF=DP，∠DCP=∠M=∠FPD=90°，
∴∠MFP+∠FPM=∠FPM+∠DPC=90°，
∴∠MFP=∠CPD，
在△PFM和△DPC中

∠MFP=∠DPC ∠M=∠DCP PF=DP

∴△PFM≌△DPC（AAS），
∵DC=PM，FM=PC，
∵DC=BC，
∴BC=DC=PM，
∴PM-BP=BC-BP，
∴BM=CP，
∵FM=CP，
∴FM=BM，
∵∠M=90°，
∴∠FBM=∠MFB=

1

2

（180°-90°）=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠FBM，
∴FB∥AC；

（2）解：结论仍成立，
理由是：过F作FM⊥BC于M，
∵四边形ABCD、DEFP是正方形，
∴∠ACB=45°，DC=BC，PF=DP，∠DCP=∠M=∠FPD=90°，
∴∠MFP+∠FPM=∠FPM+∠DPC=90°，
∴∠MFP=∠CPD，
在△PFM和△DPC中，

∠MFP=∠DPC ∠M=∠DCP PF=DP

，
∴△PFM≌△DPC（AAS），
∵DC=PM，FM=PC，
∵DC=BC，
∴BC=DC=PM，
∴PM+BP=BC+BP，
∴BM=CP，
∵FM=CP，
∴FM=BM，
∵∠M=90°，
∴∠FBM=∠MFB=

1

2

（180°-90°）=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠FBM，
∴FB∥AC；

（3）解：当点P在直线BC上移动时，E的轨迹是图中的线段GA．

点评：本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，关键是推出FM=CP，PM=DC，证明过程类似．