Question

如图，动点P是正方形ABCD边AB上运动（不与点A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE、DF．
（1）求证：∠ADP=∠EPB．
（2）若正方形ABCD边长为4，点F能否为边BC的中点？如果能，请你求出AP的长；如果不能，请说明理由．
（3）当

AP

AB

的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据∠ADP与∠EPB都是∠APD的余角，根据同角的余角相等，即可求证；
（2）假设F为BC的中点，且正方形边长为4，求出FB=2，再由（1）得出的∠ADP=∠EPB，加上一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△PAD和△PFB相似，由相似得比例，将各自的值代入得出关于AP的方程，求出根的判别式小于0，得到此方程无解，故F不能为BC的中点；
（3）这两个三角形是直角三角形，若相似，则对应边的比相等，即可求得

AP

AB

的值．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠A=∠PBC=90°，AB=AD，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∵∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPB=90°，
∴∠ADP=∠EPB；

（2）解：假设F为BC的中点，可得BF=CF=

1

2

BC=2，
∵∠ADP=∠EPB，∠A=∠ABC=90°，
∴△ADP∽△BPF，
∴

AD

BP

=

AP

BF

，即

4

4-AP

=

AP

2

，
整理得：AP²-4AP+8=0，
∵b²-4ac=16-32=-16＜0，
∴此方程无解，
则点F不能为边BC的中点；

（3）解：当

AP

AB

=

1

2

时，△PFD∽△BFP，理由为：
设AD=AB=a，则AP=PB=

1

2

a，
∴BF=BP•

AP

AD

=

1

4

a，
∴PD=

AD2+AP2

=

5

2

a，PF=

PB2+BF2

=

5

4

a，
∴

PB

PD

=

BF

PF

=

5

5

，
又∵∠DPF=∠PBF=90°，
∴△PFD∽△BFP．

点评：本题主要考查了正方形的性质，以及三角形相似的判定与性质，是一道相似形综合题．正确探究三角形相似的性质是解题的关键．