题目内容
27、已知如图1，点P是正方形ABCD的BC边上一动点，AP交对角线BD于点E，过点B作BQ⊥AP于G点，交对角线AC于F，交边CD于Q点．
（1）小聪在研究图形时发现图中除等腰直角三角形外，还有几对三角形全等．请你写出其中三对全等三角形，并选择其中一对全等三角形证明；
（2）小明在研究过程中连接PE，提出猜想：在点P运动过程中，是否存在∠APB=∠CPF？若存在，点P应满足何条件并说明理由；若不存在，为什么？
（1）小聪在研究图形时发现图中除等腰直角三角形外，还有几对三角形全等．请你写出其中三对全等三角形，并选择其中一对全等三角形证明；
（2）小明在研究过程中连接PE，提出猜想：在点P运动过程中，是否存在∠APB=∠CPF？若存在，点P应满足何条件并说明理由；若不存在，为什么？
分析：（1）三角形ABP和三角形ACQ，根据∠QBC和∠BAP都是∠BPG的余角，因此∠BAMP=∠QBC，AB=BC，由此可得出三角形ABP和三角形BCQ，三角形ABE和三角形BFC，因为AB=BC，∠BAMP=∠QBC，∠ABE=∠BCF=45°，因此两三角形全等
三角形BPE和CEQ全等，根据第一对全等的三角形可得出BP=CQ，根据第二对全等的三角形可得出BE=CF，又知道∠EBP=∠ECQ=45°，根据SAS即可判定两三角形全等；
（2）（1）中已经得出了BE=CF，而∠EBP=∠FCP=45°，如果∠EPB=∠CPF，那么三角形BEP和CFP就全等，那么BP=PC，因此要使∠APB=∠CPF，那么P就应该是BC的中点．
三角形BPE和CEQ全等，根据第一对全等的三角形可得出BP=CQ，根据第二对全等的三角形可得出BE=CF，又知道∠EBP=∠ECQ=45°，根据SAS即可判定两三角形全等；
（2）（1）中已经得出了BE=CF，而∠EBP=∠FCP=45°，如果∠EPB=∠CPF，那么三角形BEP和CFP就全等，那么BP=PC，因此要使∠APB=∠CPF，那么P就应该是BC的中点．
解答：解：（1）△ABP≌△BCQ，△ABE≌△BCF，△AOE≌△BOF，△BEP≌△CFQ，△ACP≌△BDQ；（从中任写出三对全等三角形）
如证明△ABP≌△BCQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCQ=90°，
∵BQ⊥AP，
∴∠BAP=∠CBQ，
∴△ABP≌△BCQ；
（2）当点P为BC的中点，∠AFB=∠CFP．
∵BP=CP，BP=CQ，
∴CP=CQ，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∵CF=CF，
∴△CFP≌△CFQ，
∴∠CPF=∠CQF，
∵∠CQF=∠APB，
∴∠APB=∠CPF．
如证明△ABP≌△BCQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCQ=90°，
∵BQ⊥AP，
∴∠BAP=∠CBQ，
∴△ABP≌△BCQ；
（2）当点P为BC的中点，∠AFB=∠CFP．
∵BP=CP，BP=CQ，
∴CP=CQ，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∵CF=CF，
∴△CFP≌△CFQ，
∴∠CPF=∠CQF，
∵∠CQF=∠APB，
∴∠APB=∠CPF．
点评：开放性试题，解答本题要充分里利用正方形的特殊性质，同时考查了全等三角形的判定和性质．
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