Question

如图1，点G是正方形ABCD的边DC上任意一点（不与D、C两点重合），连接AC、AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．
（1）试判断线段DE、BF的长的大小关系，说明理由；
（2）试探究线段EF与DE、BF的长有何等量关系，并给予证明；
（3）如本题图2，若E′是点E关于直线AC的对称点，连接BE′，试探究DG、AG满足什么条件时，射线BE′是∠FBC的角平分线？为什么？

Answer 1

分析：（1）由正方形的性质就可以得出AB=AD，由BF⊥AG于点F，DE⊥AG据可以得出∠BAF=∠ADE，通过证明△ABF≌△DAE就可以得出结论；
（2）通过证明△ABF≌△DAE就可以得出AF=DE，BF=AE就可以得出结论BF=DE+EF；
（3）连接BE′，AE′，EE′，就可以得出AE=AE′，∠E′AC=∠EAC，就可以得出△BAE′≌△DAE，就可以得出∠ABE′=∠ADE，进而得出∠CBE′=∠CDE，可以得出∠ABF=∠FBE′=∠CBE′，就可以得出∠DAE=30°，进而得出结论AG=2DG．

解答：解：（1）DE＜BF
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
AB=BC=CD=DA，∠BAC=∠DAC=45°．
∵BF⊥AG，DE⊥AG，
∴∠AED=∠GED=AFB=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°．，∠ABF+∠BAF=90°，
∵∠ADE+∠EDG=90°，∠BAF+∠DAE=90°
∴∠DAE=∠GDE=∠ABF．
在△ABF和△DAE中，

∠AFB=∠DEA ∠ABF=∠DAE AB=AD

，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AF=DE．
∵∠BAC=45°，
∴∠BAC+∠CAF=∠BAF＞45°．
∵∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠ABF＜45°，
∴∠ABF＜∠BAF，
∴AF＜BF，
∴DE∠BF；

（2）BF=DE+EF
理由：∵△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，AF=DE．∠ABF=∠DAE．
∵AE=AF+EF，
∴BF=DE+EF；

（3）AG=2DG
连接BE′，AE′，EE′
∵E′是点E关于直线AC对称，
∴AE=AE′，∠E′AC=∠EAC．
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC-，∠E′AC=∠DAC-∠EAC，
即∠ABE′=∠DAE．
在△BAE′和△DAE中，

AE=AE′ ∠ABE′=∠DAE AB=AD

，
∴△BAE′≌△DAE（SAS），
∴∠ABE′=∠ADE，
∴∠CBE′=∠CDE，
∴∠CBE′=∠ABF．
∵BE′是∠FBC的角平分线，
∴∠ABF=∠FBE′=∠CBE′．
∵∠ABF+∠FBE′+∠CBE′=90°，
∴∠ABF=30°，
∴∠DAE=30°，
∴在△RtADG中，
AG=2DG．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，三角形边角关系的运用，大角对大边，直角三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，轴对称的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．