Question

3．如图，在平面直角坐标系中，A（8，0），点B在第一象限，△OAB为等边三角形，OC⊥AB，垂足为点C．
（1）直接写出点C的横坐标6；
（2）作点C关于y轴的对称点D，连DA交OB于E，求OE的长；
（3）P为y轴上一动点，连接PA，以PA为边在PA所在直线的下方作等边△PAH．当OH最短时，求点H的横坐标．

Answer 1

分析 （1）如图1所示：过点B作BF⊥OA，垂足为F．由等腰三角形三线合一的性质可知OF=AF=4、BC=AC，由等边三角形的性质可知：∠BOF=60°，由特殊锐角三角函数值可知；FB=4$\sqrt{3}$，从而得到点B的坐标为（4，4$\sqrt{3}$），由中点坐标公式可知点C的坐标为（6，2$\sqrt{3}$）；
（2）方法1：设OB的解析式为y=kx，将点B的坐标代入得：k=$\sqrt{3}$，于是得到直线OB的解析式为y=$\sqrt{3}x$．由关于y轴对称的点的坐标特点可求得点D的坐标，然后依据待定系数法可求得直线AD的解析式为y=$-\frac{\sqrt{3}}{7}x+\frac{8\sqrt{3}}{7}$．将y=$\sqrt{3}x$代入y=$-\frac{\sqrt{3}}{7}x+\frac{8\sqrt{3}}{7}$可求得点E的坐标为（1，$\sqrt{3}$）．由两点间的距离公式可知：OE=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2；
方法2：连接CD，交OB于F．由关于y轴对称对称的点坐标坐标特点可知：CD∥OA，D（-6，2$\sqrt{3}$），从而得到DC=12，由题意可知△BCF为等边三角形，从而得到CF=4，然后可求得DF=12-4=8=OA，依据AAS可证明△DEF≌△AEO（AAS），由全等三角形的性质可知OE=EF，从而可求得OE=2；
 （3）如图3，连接PB．依据SAS可证明△HAO≌△PAB，由全等三角形的性质可知：OH=PB，由垂线段最短的性质可知：当BP⊥y轴时，PB有最小值为4，由PB⊥y轴可知∠AOH=∠ABP=120°，从而得到∠COH=60°，过点H作HC⊥x轴于C，由OH=4，∠COH=60°，可求得OC=2．

解答 解：（1）如图1所示：过点B作BF⊥OA，垂足为F．

∵OB=AB，BF⊥OA，
∴OF=AF=4．
∵△OAB为等边三角形，
∴∠BOF=60°．
∴FB=OBsin60°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$．
∴点B的坐标为（4，4$\sqrt{3}$）．
∵AO=OB，OC⊥AB，
∴BC=AC．
由中点坐标公式可知点C的坐标为（6，2$\sqrt{3}$）．
故答案为：6．
（2）方法1：设OB的解析式为y=kx，将点B的坐标代入得：4k=4$\sqrt{3}$，
解得：k=$\sqrt{3}$．
∴直线OB的解析式为y=$\sqrt{3}x$．
∵点C与点D关于y轴对称，
∴点D的坐标为（-6，2$\sqrt{3}$）．
设DA的解析式为y=k₁x+b．将点A和点D的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{8{k}_{1}+b=0}\\{-6{k}_{1}+b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：k₁=-$\frac{\sqrt{3}}{7}$，b=$\frac{8\sqrt{3}}{7}$．
∴直线DA的解析式为y=$-\frac{\sqrt{3}}{7}x+\frac{8\sqrt{3}}{7}$．
将y=$\sqrt{3}x$代入y=$-\frac{\sqrt{3}}{7}x+\frac{8\sqrt{3}}{7}$得：$\sqrt{3}x+\frac{\sqrt{3}}{7}x=\frac{8\sqrt{3}}{7}$．
解得：x=1．
∴y=$\sqrt{3}$．
∴点E的坐标为（1，$\sqrt{3}$）．
由两点间的距离公式可知：OE=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2．
方法2：如图2所示：连接CD，交OB于F．

∵点C与点D关于y轴对称，
∴CD∥OA，点D（-6，2$\sqrt{3}$）．
∴△BCF为等边三角形，
∴CF=4，CD=12．
∴DF=12-4=8=OA．
在△DEF和△AEO中，
$\left\{\begin{array}{l}∠DFE=∠AOE\\∠DEF=∠AEO\\ DF=AP\end{array}\right.$
∴△DEF≌△AEO（AAS），
∴OE=EF=$\frac{1}{2}$OF，
∵BF=BC=4，
∴OF=4，
∴OE=2．
 （3）如图3，连接PB．

∵∠HAO+∠PAO=∠BAP+∠PAO=60°，
∴∠HAO=∠PAB，
在△HAO和△PAB中，
$\left\{\begin{array}{l}AH=AP\\∠HAO=∠PAB\\ OA=BA\end{array}\right.$
∴△HAO≌△PAB（SAS），
∴OH=PB，
当BP⊥y轴时，PB有最小值为4，此时，∠AOH=∠ABP=120°，
∴∠COH=60°
过点H作HC⊥x轴于C，
∵OH=4，∠COH=60°，
∴OC=2，即H点横坐标为-2．

点评 本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的性质和判定、特殊锐角三角函数、垂线段的性质、等边三角形的性质，证得当BP⊥y轴时，OH有最小值是解题的关键．