Question

心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知．学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系式：

y＝

(1)讲课开始后第5分钟与讲课开始后第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？

(2)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？

(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题？

Answer 1

答案：
解析：

[答案](1)当x＝5时，y＝195，当x＝25时，y＝205． 　　∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中． 　　(2)当0＜t≤10时，y＝－t2＋24t＋100＝－(t－12)2＋244，该图像的对称轴为t＝12，在对称轴左侧，y随t的增大而增大，所以，当t＝10时，y有最大值240． 　　当20＜t≤40时，y＝－7t＋380，y随t的增大而减小，所以，当t＝20时，y有最大值240． 　　所以，讲课开始后10分钟时，学生的注意力最集中，能持续10分钟． 　　(3)当0＜t≤10时，令y＝－t2＋24t＋100＝180，∴t＝4． 　　当20＜t≤40时，令y＝－7t＋380＝180．∴t＝28.57． 　　所以，学生注意力在180以上的持续时间为28.57－4＝24.57(分钟)． 　　所以，老师可以经过适当安排，能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 　　[剖析]比较当t＝5和t＝25时，y的值的大小即得；(2)分别求出0＜t≤10和20＜t≤40时y的最大值，比较大小后求出0＜t≤40时，y的最大值，并求出当t取最大值时．t的取值范围；(3)求出y＝180时t的值，比较y≥180时的时间长与24的大小即得．