Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，若AC=5，BC=12．求点D到AB的距离．

Answer 1

分析：过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE，然后利用“HL”证明△ACD和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AC，表示出BE，设DE=x，表示出BD，然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AC=5，BC=12，
∴AB=

122+52

=13，
∵∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，
∴CD=DE，
在△ACD和△AED中，

AD=AD CD=DE

，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AE=AC=5，
BE=AB-AE=13-5=8，
设DE=x，
则BD=12-x，
在Rt△BDE中，DE²+BE²=BD²，
∴x²+8²=（12-x）²，
解得x=

10

3

．
答：点D到AB的距离是

10

3

．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键．