Question

如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，下列说法：
①当AC=BD时，M、E、N、F四点共圆．
②当AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆．
③当AC=BD且AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆．
其中正确的是（　　）

• A、①②
• B、①③
• C、②③
• D、①②③

Answer 1

考点：四点共圆,三角形中位线定理,菱形的判定与性质,矩形的判定与性质,正方形的判定与性质

专题：

分析：连接EM、MF、FN、NE，连接EF、MN，交于点O，利用三角形中位线定理可证到四边形ENFM是平行四边形；然后根据条件判定四边形ENFM的形状，就可知道M、E、N、F四点是否共圆．

解答：解：连接EM、MF、FN、NE，连接EF、MN，交于点O，如图所示．
∵点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，
∴EM∥BD∥NF，EN∥AC∥MF，EM=NF=

1

2

BD，EN=MF=

1

2

AC．
∴四边形ENFM是平行四边形．
①当AC=BD时，
则有EM=EN，
所以平行四边形ENFM是菱形．
而菱形的四个顶点不一定共圆，
故①不一定正确．
②当AC⊥BD时，
由EM∥BD，EN∥AC可得：EM⊥EN，即∠MEN=90°．
所以平行四边形ENFM是矩形．
则有OE=ON=OF=OM．
所以M、E、N、F四点共圆，
故②正确．
③当AC=BD且AC⊥BD时，
同理可得：四边形ENFM是正方形．
则有OE=ON=OF=OM．
所以M、E、N、F四点共圆，
故③正确．
故选：C．

点评：本题考查了四点共圆、三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定与性质等知识．在解决问题的过程中，可能会把AC、BD误认为是平行四边形ENFM的对角线，从而由AC=BD得到该四边形是矩形这样一个错误结论，需加以注意．