Question

6．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在DA的延长线上，连接EB，∠EBD=5∠EDB，∠BCD=90°+$\frac{1}{2}$∠E，过点A作AF⊥BD于点F，若AB=5，则FO的长为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 根据已知条件设∠EDB=α，则∠EBD=5α，∠E=180°-∠α，于是得到∠BAD=∠BCD=90°+$\frac{1}{2}$∠E=180°-3α，在BD上取点G，根据等腰三角形的性质得到AG=AB=5，推出AG=GD=5，设BF=FG=5x，得到OB=$\frac{2x+5}{2}$，于是得到结论．

解答 解：设∠EDB=α，则∠EBD=5α，∠E=180°-6α，
∴∠BAD=∠BCD=90°+$\frac{1}{2}$∠E=180°-3α，
∴∠EAB=3α，∠ABD=∠EAB-∠EDB=2α，
在BD上取点G，使BF=GF，
∵AF⊥BC，
∴AG=AB=5，∠AGB=∠ABG=2α，
∴∠GAD=α=∠ADB，
∴AG=GD=5，
设BF=FG=x，
∴OB=$\frac{2x+5}{2}$，
∴OF=OB-BF=$\frac{2x+5}{2}$-x=$\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．