题目内容

问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，若三角形三边长分别记为BC=a，AC=b，AB=c，内切圆半径记为r，现有小尧和小淇对半径进行计算．下面是两位同学简要的解答过程：
小尧同学解法：
分别连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵⊙O是△ABC内切圆，D、E、F为切点，∴CD=CE，AE=AF，BD=BF，∠OEC=∠ODC=90°，∵∠C=Rt∠，CD=CE，∴四边形CDOE是正方形，∴CD=CE=r，AE=b-r=AF，BD=a-r=BF，∵BF+AF=AB=c，∴（a-r）+（b-r）=c；
小淇同学解法：
分别连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵⊙O是△ABC内切圆，D、E、F为切点，∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB于D、E、F，OD=OE=OF，∴S△ABC=S△BOC+S△AOC+S△AOB=
1
2
BC•DO+
1
2
AC•OE+
1
2
AB•FO=
1
2
（BC+AC+AB）•OD，∵∠C=90°，∴
1
2
ab=
1
2
（a+b+c）•r，∴r=
a+b-c
2
∴r=
ab
a+b+c

（1）知识理解：
对于两位同学的解法，正确的判断是
 

A．两人都正确  B．两人都错误  C．小尧正确，小淇错误  D．小尧错误，小淇正确
（2）方法延伸：
如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O是Rt△ABC的内切圆，⊙O与AB相切于点D，且AD=7，BD=3，求△ABC的面积．
（3）应用拓展：
如图3，△ABC中，A、B、C三点的坐标分别为A（0，8），B（-6，0），C（15，0）．若△ABC内心为D，则点D的坐标为
 
．（直接写出结果）
考点：圆的综合题
专题：综合题
分析：（1）两位同学的计算都正确；
（2）设AC=b，BC=a，AB=AD+BD=10，根据切线长定理得到AD=
AB+AC-BC
2
=
10+b-a
2
=7，则b-a=4，加上勾股定理a2+b2=100，所以S=
1
2
ab=
1
4
[（a2+b2）-（b-a）2]=21；
（3）延长AD交BC于E，作DH⊥BC于H，如图3，先利用勾股定理计算出AB=10，AC=15，再计算S△ABC=S△OAB+S△OAC=84，根据切线的性质得DH为⊙D的半径，则利用题中的结论得到
1
2
•DH•（10+15+21）=84，解得DH=
7
2
，然后根据点D为△ABC的内心得到AE平分角∠BAC，则根据角平分线定理得到
BE
CE
=
AB
AC
=
10
17
，可计算出BE=
70
9
，所以OE=BE-BO=
16
9
，接着证明△EDH∽△EAO，利用相似比计算出EH=
7
9
，则OH=OE-EH=
16
9
-
7
9
=1，于是可得到D点坐标为（1，
7
2
）．
解答：解：（1）A；
（2）设AC=b，BC=a，AB=AD+BD=10，
∴AD=
AB+AC-BC
2
=
10+b-a
2
=7，
∴b-a=4，
又∵a2+b2=100，
∴S=
1
2
ab=
1
4
[（a2+b2）-（b-a）2]=
1
4
×（100-16）=21；
（3）延长AD交BC于E，作DH⊥BC于H，如图3，
∵A（0，8），B（-6，0），C（15，0），
∴OB=6，OA=8，OC=15，
∴AB=
OB2+OA2
=10，AC=
OA2+OC2
=15，
∴S△ABC=S△OAB+S△OAC=
1
2
•6•8+
1
2
•8•15=84，
∵⊙D为△ABC的内切圆，
∴DH为⊙D的半径，
∴S△ABC=
1
2
DH•（AB+AC+BC），
即
1
2
•DH•（10+15+21）=84，
∴DH=
7
2
，
∵点D为△ABC的内心，
∴AE平分角∠BAC，
∴
BE
CE
=
AB
AC
=
10
17
，
∴BE=
10
27
•21=
70
9
，
∴OE=BE-BO=
16
9
，
∵DH∥OA，
∴△EDH∽△EAO，
∴
EH
EO
=
DH
AO
，即
EH
16
9
=
7
2
8
，
∴EH=
7
9
，
∴OH=OE-EH=
16
9
-
7
9
=1，
∴D点坐标为（1，
7
2
）．
故答案为A，（1，
7
2
）．
点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握三角形内切圆的性质、切线长定理；会利用角平分线定理、相似比和勾股定理计算线段的长；理解坐标与图形性质．
练习册系列答案
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分解因式：m2-4mn+3n2．
将直角三角板ABC绕直角顶点C逆时针旋转角度α，得到△DCE，其中CE与AB交于点F，∠ABC=30°，连接BE，若△BEF为等腰三角形（即有两内角相等），则旋转角α的值为
 
．
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（3）若P为直线AB上的一点，且△BMP为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．
若点P（a，2）与点P1（1，b）关于x轴对称，则ba=
 
．
实数a，b在数轴上的对应位置如图所示，则化简
a2
+|a-b|+a的结果是（　　）
A、b-aB、3a-b
C、a-bD、b-3a
如图，从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为
 
cm．
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