Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2x﹣3a与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OC＝OB，点P为抛物线上一动点

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P运动到抛物线对称轴右侧时如图2，连PC、BC、BP得△BCP．设△BCP的面积为s，点P的横坐标为x．若s＜，求x的取值范围；

（3）当点P运动到第四象限时，连AP、BP，BP交y轴于点R，过B作直线l∥AP交y轴于点Q，问：QR、OC之间是否存在确定的数量关系？若存在，请求出并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）1＜x＜且x≠；（3）存在，RQ＝4OC，见解析

【解析】

(1)由已知可求A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3)，所以﹣3a=﹣3，即a=1；

(2)当点P在x轴下方时，设P(x，x2﹣2x﹣3)，过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q，求得直线BC的解析式为y=x﹣3，所以Q(x，x﹣3)，表示出S，当S=时，，当点P在x轴上时，同理可得，时，；由已知并结合图象可得，1＜x＜且x≠；

(3)设直线AP的解析式为y=kx+k，联立方程组，可得xp=3+k，设直线BP的解析式为y=mx﹣3m，联立方程组，可得xp+3=m+2，则有m﹣k=4，设直线BQ的解析式为y=kx﹣3k，分别得到Q(0，﹣3k)，R(0．﹣3m)，则可得RQ=4OC．

(1)由已知可求A(﹣1，0)，B(3，0)，

∵OC=OB，

∴C(0，﹣3)，

∴﹣3a=﹣3，

∴a=1，

∴y=x2﹣2x﹣3；

(2)当点P在x轴下方时，设P(x，x2﹣2x﹣3)，过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q，

求得直线BC的解析式为y=x﹣3，

∴Q(x，x﹣3)，

∴，即，

当S=时，，

化简得：，即：，

∴，

当点P在x轴上时，同理可得，

时，；

∵P点在对称轴的右侧，

∴当S＜时，由图象可得，1＜x＜且x≠；

(3)设直线AP的解析式为，

∴，

∴，

∵点的坐标为：(﹣1，0)，

∴-1是方程的一个根，

∴xp+(﹣1)=2+k，xp=3+k，

设直线BP的解析式为y=mx﹣3m，

∴，

∴，

∵点的坐标为：(3，0)，

∴xp+3=m+2，xp=m-1，

∴3+k=m﹣1，

∴m﹣k=4，

设直线BQ的解析式为y=kx﹣3k，

∴Q(0，﹣3k)，

∵R(0，﹣3m)，

∴RQ=﹣3k+3m=12，

∵CO=3，

∴RQ=4OC．