Question

【题目】如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD．点 P 为底边 BC 的延长线上任意一点，PE⊥AB 于 E，PF⊥DC 于 F，BM⊥DC 于 M．请你探究线段 PE、PF、BM 之间的数量关系：

______．

Answer 1

【答案】PE－PF=BM.

【解析】

过点B作BH∥CD，交PF的延长线于点H，易证四边形BMFH是平行四边形，于是有FH=BM，再用AAS证明△PBE≌△PBH，可得PH=PE，继而得到结论.

解：PE－PF=BM. 理由如下：

过点B作BH∥CD，交PF的延长线于点H，如图

∴∠PBH=∠DCB，

∵PF⊥CD，BM⊥CD，

∴BM∥FH，PH⊥BH，

∴四边形BMFH是平行四边形，∠H=90°，

∴FH=BM，

∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，

∴∠ABC=∠DCB，

∴∠ABC=∠PBH，

∵PE⊥AB，

∴∠PEB=∠H=90°，又PB为公共边，

∴△PBE≌△PBH（AAS），

∴PH=PE，

∴PE=PF+FH=PF+BM．

即PE－PF=BM.