Question

10．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE，AC=6cm．
（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；
（2）求CE的长．

Answer 1

分析 （1）通过全等三角形的判定定理AAS证得△DBH≌△DCA，所以BH=AC，即线段BH与AC相等；
（2）根据已知条件推出△ABE≌△CBE，根据全等三角形的性质得到CE=AE，于是得到结果．

解答 解：（1）线段BH与AC相等．理由如下：
∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，
∴∠BCD=∠ABC=45°，∠CAD+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°，
∴DB=DC，∠ABE=∠DCA．
∵在△DBH与△DCA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBH=∠DCA}\\{∠BDH=∠CDA}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△DBH≌△DCA（AAS），
∴BH=AC，
即线段BH与AC相等；

（2）在△ABE与△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBE}\\{∠AEB=∠CEB}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE，
∴CE=AE，
∵AC=6cm，
∴CE=3cm．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质．关键是推出△DBH≌△DCA．