Question

如图，正方形ABCD中，E、F为BC，CD的上点且∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF．

Answer 1

证明：如图，把△ABE逆时针旋转90°得到△ADG，
∴BE=GD，AE=AG，
∵∠EAF=45°，
∴∠FAG=90°-45°=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=GF，
即EF=GD+DF，
∴EF=BE+DF．
分析：把△ABE逆时针旋转90°得到△ADG，根据旋转的性质可得BE=GD，AE=AG，再根据∠EAF=45°求出∠FAG=45°，然后利用边角边定理证明△AEF与△AGF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，即EF=GD+FD，即可证明EF=BE+DF．
点评：本题考查了正方形四边均相等，且各内角均为直角的性质，考查了全等三角形的证明，本题把△ABE逆时针旋转90°，构建全等三角形△AEF与△AGF是解题的关键．