Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于B（3，0），C（8，0）两点，已知AB=BC
（1）求点A的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）过点B做线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出说明．

Answer 1

考点：二次函数综合题,相似三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）根据条件可求出OB、AB的值，然后只需运用勾股定理就可求出点A的坐标；
（2）由于抛物线与x轴的两个交点已知，因此抛物线解析式可设成两点式（也称交点式），然后把点A的坐标代入该解析式，就可求出抛物线的解析式；
（3）设直线l与x轴交于点H，BD与⊙C的相切于点E，连接CE，如图，则有∠BEC=90°．易证△AOB∽△BEC，从而可求出⊙C的半径CE，然后求出抛物线的对称轴方程，得到OH的值，从而得到圆心C到对称轴l的距离CH，然后只需比较CH与CE的大小，就可解决问题．

解答：解：（1）∵B（3，0），C（8，0），
∴OB=3，OC=8，
∴AB=BC=5．
∵∠AOB=90°，
∴OA=

AB2-OB2

=4，
∴点A的坐标为（0，4）；

（2）设抛物线的解析式为y=a（x-3）（x-8），
把点A（0，4）代入该解析式得：24a=4，
解得：a=

1

6

，
∴y=

1

6

（x-3）（x-8）=

1

6

x²-

11

6

x+4，
∴该抛物线的解析式为y=

1

6

x²-

11

6

x+4；

（3）抛物线的对称轴l与⊙C相交．
理由：设直线l与x轴交于点H，BD与⊙C的相切于点E，连接CE，如图，
则有∠BEC=90°．
∵AB⊥BD，即∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠BEC=90°，
∴AB∥EC，
∴∠ABO=∠BCE．
∵∠AOB=∠BEC=90°，
∴△AOB∽△BEC，
∴

OB

EC

=

AB

BC

=1，
∴CE=OB=3．
∵抛物线y=

1

6

x²-

11

6

x+4的对称轴为x=-

- 11 6

2× 1 6

=

11

2

，
∴OH=

11

2

，∴CH=OC-OH=8-

11

2

=

5

2

．
∴CH＜CE，
∴抛物线的对称轴l与⊙C相交．

点评：本题主要考查了运用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直线与圆的位置关系等知识，将直线与圆的位置关系转化为数量关系（d与r的关系）是解决第（3）小题的关键．