题目内容

如图，正方形ABCD的边长是2，E、F分别在BC、CD两边上，且E、F与BC、CD两边的端点不重合，△AEF的面积是1，设BE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围．

解：∵BE=x，DF=y，DC=AD=AB=BC=2，
∴FC=2-y，CE=2-x，
∴S_△ADF+S_△AEF+S_△ABE+S_△EFC=S_{正方形ABCD}，
∴ $\text{[math]}$ •2•y+1+ $\text{[math]}$ •2•x+ $\text{[math]}$ •（2-x）（2-y）=2²，
∴y= $\text{[math]}$ ，
∵2-y＞0，即2- $\text{[math]}$ ＞0且2-x＞0，
∴1＜x＜2，
∴y关于x的函数解析式为y= $\text{[math]}$ （1＜x＜2）．
分析：根据正方形的性质得到DC=AD=AB=BC=2，则FC=2-y，CE=2-x，根据正方形的面积公式和三角形面积公式以及S_△ADF+S_△AEF+S_△ABE+S_△EFC=S_{正方形ABCD}可得到 $\text{[math]}$ •2•y+1+ $\text{[math]}$ •2•x+ $\text{[math]}$ •（2-x）（2-y）=2²，整理得y= $\text{[math]}$ ，根据2-y＞0且2-x＞0可得到自变量x的取值范围．
点评：本题考查了正方形的性质：正方形的四个角都为90°，四边都相等；正方形的面积等于边长的平方．