Question

9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC交AD于E点，交AC于F点．求证：∠AEF=∠AFE．

Answer 1

分析 由在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，易得∠BAD=∠C，又由BF平分∠ABC，∠AEF=∠ABE+∠BAD，∠AFE=∠CBF+∠C，即可证得∠AEF=∠AFE，继而证得△AEF为等腰三角形．

解答 证明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBF，
∵∠AEF=∠ABE+∠BAD，∠AFE=∠CBF+∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AF=AE，即△AEF为等腰三角形．

点评 此题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．