题目内容
【题目】如图，已知在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过O点的射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF＝90°，BO、EF交于点P，下列结论：
①图形中全等的三角形只有三对； ②△EOF是等腰直角三角形；③正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；④BE+BF＝OA；⑤AE2+BE2＝2OPOB．其中正确的个数有（ ）个．
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
由正方形的性质和已知条件得出图形中全等的三角形有四对，得出①不正确；由△AOE≌△BOF，得出对应边相等OE=OF，得出②正确；由△AOE≌△BOF，得出四边形OEBF的面积=△ABO的面积=正方形ABCD的面积，③正确；由△BOE≌△COF，得出BE=CF，得出BE+BF=AB=
OA，④错误；由△AOE≌△BOF，得出AE=BF，得出AE2+CF2=BE2+BF2=EF2=2OF2，再证明△OPF∽△OFB，得出对应边成比例OP：OF=OF：OB，得出OF2=OPOB，得出⑤正确．
解：①不正确；
图形中全等的三角形有四对：△ABC≌△ADC，△AOB≌△COB，△AOE≌△BOF，△BOE≌△COF；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，∠BAO＝∠BCO＝45°，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
∵点O为对角线AC的中点，
∴OA＝OC，
在△AOB和△COB中，
，
∴△AOB≌△COB（SSS）；
∵AB＝CB，OA＝OC，∠ABC＝90°，
∴∠AOB＝90°，∠OBC＝45°，
又∵∠EOF＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF，
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA）；
同理：△BOE≌△COF（ASA）；
②正确；理由如下：
∵△AOE≌△BOF，
∴OE＝OF，
∴△EOF是等腰直角三角形；
③正确．理由如下：
∵△AOE≌△BOF，
∴四边形OEBF的面积＝△ABO的面积＝
正方形ABCD的面积；
④不正确．理由如下：
∵△BOE≌△COF，
∴BE＝CF，
∴BE+BF＝CF+BF＝BC＝AB＝OA；
⑤正确．理由如下：
∵△AOE≌△BOF，
∴AE＝BF，
∴AE2+CF2＝BE2+BF2＝EF2＝2OF2，
在△OPF与△OFB中，
∠OBF＝∠OFP＝45°，
∠POF＝∠FOB，
∴△OPF∽△OFB，
∴OP：OF＝OF：OB，
∴OF2＝OPOB，
∴AE2+CF2＝2OPOB．
正确结论的个数有3个；
故选：B．
