Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC与BD相交于点E、F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC，下列结论：
①线段AC为⊙O的直径；②CD⊥DF；③BC=2CD；④∠AFB=∠BCD
其中正确的个数为（　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

考点：圆周角定理,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：根据圆周角定理、等腰三角形的判定与性质等，作出辅助线，根据有关性质和定理对每一结论进行证明即可得出答案．

解答：解：①∵AB=AD，
∴弧AB=弧AD，∠ADB=∠ABD．
∵∠ACB=∠ADB，∠ACD=∠ABD，
∴∠ACB=∠ADB=∠ABD=∠ACD．
∴∠ADB=（180°-∠BAD）÷2=90°-∠DFC．
∴∠ADB+∠DFC=90°，即∠ACD+∠DFC=90°，
∴CD⊥DF，
∴∠FDC=90°，
∴∠ADC＞90°，
∴线段AC不为⊙O的直径，
∴①错误，②正确；
③过F作FG⊥BC，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ACB=∠ADB，
∠BFC=∠BAD，
∴∠FBC=∠ABD，
∴∠FBC=∠ADB，
∴∠FBC=∠ACB．
∴FB=FC．
∴FG平分BC，G为BC中点，∠GFC=

1

2

∠BAD=∠DFC．
∴△FGC≌△DFC（∠GFC=∠DFC，FC=FC，∠ACB=∠ACD）．
∴CD=GC=

1

2

BC．
∴BC=2CD，
∴③正确；
④∵∠BFC=∠BAD，
∠AFB=180°-∠BFC，
∠BCD=180°-∠BAD，
∴∠AFB=∠BCD
∴④正确；
其中正确的个数为3个．
故选D．

点评：本题考查了圆周角定理；用到的知识点为圆周角定理、等腰三角形的判定与性质等，解题的关键是作出辅助线根据有关性质和定理对每一结论进行证明．