Question

如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，P的坐标分别为（0，2），（3，2），（2，3），（1，1）．
（1）请在图中画出△A′B′C′，使得△A′B′C′与△ABC关于点P成中心对称；
（2）若一个二次函数的图象经过（1）中△A′B′C′的三个顶点，求此二次函数的关系式；
（3）请求出△ABC外接圆的半径．

Answer 1

分析：（1）根据图形中心对称的性质作出图形；
（2）由图象A′，B′两点在x轴上设出函数两点式解析式为：y=a（x-2）（x+1），又有点C′在图象上，代入求出a值，从而求出二次函数的解析式；
（3）先根据三角形外接圆圆心的性质：三边垂直平分线的交点，求出外接圆圆心坐标，然后再求出三角形外接圆半径．

解答：解：（1）如下图：
；
（2）由函数图象可知：二次函数过点（-1，0）、（2，0）、（0，-1），
∴可以设二次函数解析式为：y=a（x-2）（x+1），
再把点（0，-1）代入函数解析式得，
-1=-2a，
∴a=

1

2

，
∴二次函数的关系式为：y=

1

2

(x-2)(x+1)；

（3）已知点A（0，2），B（3，2），C（2，3），
∵AB垂直平行x轴，
可设三角形ABC的圆心为：O′（

3

2

，y），
根据三角形外接圆的性质，知：O′A=O′C，
∴

9

4

+y2=(

3

2

-2)2+(y-3)2，（y＞0）
解得y=

3

2

；
∴外接圆圆心O′坐标为(

3

2

，

3

2

)，
R=半径=AO′=

1

2

10

．

点评：（1）第一问考查中心对称图形的性质，对应点的连线互相平行且关于对称中心对称；
（2）此问设出合适的函数解析式是解题的关键，注意观察A′，B′两点坐标的特点；
（3）第三问考查三角形外接圆的性质及应用，三角形外接圆心是三角形三边垂直平分线的交点，然后根据圆心又可以求出其半径．