Question

【题目】如图，在中，，，是的平分钱，垂足是，和的延长线交于点．

（）请找出与相等的所有的角，并证明其中一个．

（）求证：．

Answer 1

【答案】（），理由见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）与∠F相等的所有角为∠ADB、∠EDC、∠BCF，选择证明∠F=∠BCF，由已知条件不难证明△FBE≌△CBE，即可证明∠F=∠BCF；（2）先计算出∠ABC和∠ACB的度数，继而求出∠ABD的度数，再由等腰三角形中，已知顶角∠ABC的度数，求出底角∠FCB的度数，接着求出∠ACF的度数，得出∠ABD=∠FCA，再由AB=AC以及∠BAD=∠FAC可得△BAD≌△CAF，所以BD=CF，又因为CE=EF，得证.

试题解析：

（）∠F=∠ADB=∠EDC=∠BCF，

证明∠F=∠BCF，

∵BD平分∠ABC，

∴∠FBE=∠CBE，

∵CE⊥BD于点E，

∴∠FEB=∠CEB=90°,

再△FBE和△CBE中，

，

∴△FBE≌△CBE（ASA），

∴∠F=∠BCF；

（）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABD=∠ABC=22.5°，

由（1）可知，∠F=∠FCB=×（180°－∠ABC）=67.5°，

∴∠FCA=∠FCB－∠ACB=67.5°－45°=22.5°，

∴∠ABD=∠FCA，

在△BAD和△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（ASA）,

∴BD=CF，

∵CE=EF,

∴BD=2EC.