Question

已知：如图，在▱ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．

（1）求证：BE=DG；

（2）若∠BCD=120˚，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．

Answer 1

【考点】菱形的判定；平行四边形的性质；平移的性质．

【分析】（1）根据平移的性质，可得：BE=FC，再证明Rt△ABE≌Rt△CDG可得：DG=FC；即可得到BE=DG；

（2）要使四边形ABFG是菱形，须使AB=BF；根据条件找到满足AB=BF的AB与BC满足的数量关系即可．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD．

∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成．

∴CG⊥AD．

∴∠AEB=∠CGD=90°．

∵AE=CG，AB=CD，

∴Rt△ABE≌Rt△CDG．

∴BE=DG；

（2）解：当BC=AB时，四边形ABFG是菱形．

证明：∵AB∥GF，AG∥BF，

∴四边形ABFG是平行四边形．

∵Rt△ABE中，∠B=60°，

∴∠BAE=30°，

∴BE=AB．（直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半）

∵BE=CF，BC=AB，

∴EF=AB．

∴AB=BF．

∴四边形ABFG是菱形．