Question

13．对于抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），有下列说法：
①当b=a+c时，则抛物线y=ax²+bx+c一定经过一个定点（-1，0）；
②若△=b²-4ac＞0，则抛物线y=cx²+bx+a与x轴必有两个不同的交点；
③若b=2a+3c，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴必有两个不同的交点；
④若a＞0，b＞a+c，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴必有两个不同的交点；
其中正确的有①②③④．

Answer 1

分析 利用二次函数的性质以及抛物线与x轴的交点坐标逐一分析得出答案即可．

解答 解：①抛物线y=ax²+bx+c一定经过一个定点（-1，0），则0=a-b+c，即b=a+c，此选项成立成立；
②因为抛物线y=cx²+bx+a，c≠0，△＞0，所以抛物线y=cx²+bx+a与x轴必有两个不同的交点，此选项成立成立；
③当b=2a+3c，则b²-4ac=（2a+3b）²-4ac=4a²+8ac+9b²=4（a+c）²+5c²，而a≠0，于是b²-4ac＞0，则方程必有两个不相等的实数根；
④当a＞0，b＞a+c，
若c≥0，则b²-4ac＞（a+c）²-4ac=（a-c）²≥0，此时抛物线y=ax²+bx+c与x轴两个不同的交点；
若c＜0，则-2ac＞0，b²-4ac＞0，抛物线y=ax²+bx+c与x轴两个不同的交点
综上，抛物线y=ax²+bx+c与x轴必有两个不同的交点，结论成立．
正确的结论是①②③④．
故答案为：①②③④．

点评 此题考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的性质，掌握二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系及二次函数的性质是解决问题的关键．